Komentarz - 2010-02-09 Taka sobie nierówność

nie wiem jak się tworzy pierwiastki u Ciebie, więc oznacze jako sqrt(X).

sqrt(5)+sqrt(8)< sqrt(6)+sqrt(7) (obustronnie do potęgi - możemy, bo obie strony są > 0)
5+2*sqrt(5)*sqrt(8)+8 < 6 + 2*sqrt(6)*sqrt(7)+7 (odejmujemy 13 i dzielimy /2)
sqrt(5)*sqrt(8) < sqrt(6)*sqrt(7) (wciągamy pod pierwiastek)
sqrt(5*8) < sqrt(6*7) (i znowu potęgujemy obustronnie - ciągle obie strony są > 0)
40 < 42

CBDU

co wygrałem? (i mam nadzieję że nie opieprz za pomylenie czegoś przy działaniach na pierwiastkach i nierównościach ;)

Andrzej Dopierała 2010-02-16 22:09 UTC


Prawdę mówiąc nigdy nie rozumiałem jak to jest z tym pierwiastkiem: sqrt(a)=b wtedy i tylko wtedy gdy b*b=a?

To sqrt(5) może być ujemne…

Ale ja to miałem w szkole strasznie dawno :-(

Wojtek Myszka 2010-02-16 22:42 UTC


ee.. no… sqrt(5) jest raczej dodatni. ujemny to może byc -sqrt(5).

Andrzej Dopierała 2010-02-17 22:04 UTC


Po kolei.

Rozwiązanie Andrzeja jest prawie dobre – modulo problem formalny, nie możemy zaczynać od rzeczy, którą mamy udowodnić! Chyba, że napiszemy wyraźnie, że otrzymujemy ciąg nierówności równoważnych (a nie tylko, że każda implikuje kolejną) – czyli wtedy jest ok, jeno mało elegancko – ale najlepiej zacząć od nierówności przeciwnej i dojść do sprzeczności, wtedy nikt się nie przyczepi. (Później wpiszę moje rozwiązanie, które jest nieco inne i mnie przynajmniej się bardziej podoba;)).

Wojtku, Andrzej już odpowiedział, ale pozwolę sobie rozwinąć: otóż słowo “pierwiastek” jest w matematyce, jakby powiedzieli informatycy, “przeciążone”. Jedno jego znaczenie to pierwiastek stopnia n z liczby zespolonej z: jest to taka liczba w, że $ w^n=z $. Oczywiście;) istnieje n takich liczb (chyba, że $ z=0 $, wtedy jedna). W szczególności, pierwiastek zespolony nie jest funkcją w zwykłym sensie! Jeśli $ n=2 $, a z jest rzeczywiste i różne od zera, to oba pierwiastki zespolone z z są akurat rzeczywiste i przeciwnych znaków; ten z nich, który jest dodatni, nazywamy pierwiastkiem arytmetycznym z z. Potocznie pierwiastek arytmetyczny też nazywa się pierwiastkiem i stąd konfuzja.

– Marcin Borkowski 2010-02-18 09:20 UTC


Hm… “Później wpiszę moje rozwiązanie, które jest nieco inne i mnie przynajmniej się bardziej podoba”. Później to kiedy? ;)

Andrzej Dopierała 2010-03-11 14:00 UTC


Drogi Andrzeju,

rozwiązanie leży już od jakiegoś czasu na moim dysku (i gdyby nie drobny problem techniczny z renderowaniem TeXa na stronce, już dawno by tu było). A więc w końcu: $ \sqrt6+\sqrt7-(\sqrt5+\sqrt8)= $ $ \sqrt6-\sqrt5-(\sqrt8-\sqrt7)= $ $ \frac{(\sqrt6-\sqrt5)(\sqrt6+\sqrt5)}{\sqrt6+\sqrt5}-\frac{(\sqrt8-\sqrt7)(\sqrt8+\sqrt7)}{\sqrt8+\sqrt7}= $ $ \frac{1}{\sqrt6+\sqrt5}-\frac{1}{\sqrt8+\sqrt7}>0 $.

A za chwilkę wystawię następną zagadkę, bo ta była za łatwa;).

– Marcin Borkowski 2010-03-21 18:06 UTC