Poniżej znajduje się źródło LaTeXowe prezentacji na otwarcie mojego przewodu doktorskiego, przygotowanej przy użyciu klasy beamer (tu znajduje się plik pdf). Nie stosuję tu wprawdzie bardziej zaawansowanych możliwości oferowanych przez tę klasę, ale nawet stosując wartości domyślne można, jak widać, uzyskać znakomite efekty. Uwaga: jeśli Twój system operacyjny używa kodowania innego niż UTF-8, musisz zmienić deklarację \usepackage[...]{inputenc} (zob. niżej).
Uwaga: warto przed korzystaniem z klasy beamer upewnić się, że dysponujemy najnowszą jej wersją; np. wersja 3.06 (dostępna np. w The TeX Collection 2007) miała denerwującą usterkę (w szczególności psującą poniższą prezentację) w obsłudze kolorów.
%%%%%%%%%%%% Prezentacja na otwarcie przewodu (w beamerze) \documentclass[11pt]{beamer} % Klasa dokumentu beamer, autorstwa Tilla % Tantaua, jest znakomitym narzędziem do % przygotowywania prezentacji w LaTeXu. % Jej dokumentacja znajduje się w pliku % beameruserguide.pdf, i warto tam % zajrzeć - są tam liczne przykłady % i porady dotyczące przygotowywania % prezentacji. Mimo obszerności, % dokumentacja jest bardzo przyjazna, % dobrze uporządkowana i przemyślana. % % Używając klasy beamer trzeba uważać na % pewną sprawę: podobnie jak pakiet pgf, % jest ona wciąż aktywnie rozwijana; % dobrze jest mieć w miarę aktualną % wersję (w niektórych dystrybucjach % TeXa, np. w MikTeXu, zainstalowanie % najnowszej wersji jest bardzo proste i % automatyczne; w innych, np. w tetex, % sprowadza się to do skopiowania plików % do odpowiedniego katalogu i % uruchomienia skryptu mktexlsr). \usetheme{Frankfurt} % Styl prezentacji. Określa wygląd prezentacji % -- użyte czcionki, układ strony itp. \usecolortheme{crane} % Styl kolorystyczny -- zmienia kolorystykę % prezentacji. \usepackage[utf8]{inputenc} % Pakiet inputenc jest jednym ze sposobów % nauczenia LaTeXa polskich liter. Inne % sposoby to: % * tzw. notacja prefiksowa (dziś % już nieużywana); % * stosowanie tablic konwersji, % zadawanych linią postaci % ,,%& --translate-file=xxx'', gdzie xxx % może mieć postać np. il2-pl (dla % iso-8859-2) czy cp1250pl (dla % kodowania Windows); opcja ta może % wymagać uaktywnienia w konfiguracji % TeXa; % * stosowanie specjalnych wersji TeXa, % jak encTeX Petra Ol\v{s}aka czy % Omega. % % Stosowanie inputenc nie jest koniecznie % najlepszym pomysłem - w szczególności % nie można wówczas używać polskich liter % w nazwach definiowanych komend, % środowisk, haseł bibliograficznych, % etykiet definiowanych poleceniem \label % itp. Jeśli używa się kodowania iso lub % Windows, tablice konwersji są % najpraktyczniejsze, choć mniej przenośne % niż inputenc. Ten ostatni jest % najprostszy do użycia, jeśli stosujemy % kodowanie utf-8 (jak w tym dokumencie). % Pakiet inputenc pozwala też na użycie % kodowania iso (opcja latin2) lub Windows % (opcja cp1250). % % Uwaga! Jeśli Twój system operacyjny % stosuje inne kodowanie niż utf-8, % prawdopodobnie musisz zmienić tę % deklarację na % \usepackage[latin2]{inputenc} % (np. w Linuksie) bądź % \usepackage[cp1250]{inputenc} % (np. w MS Windows). \usepackage{polski} % Pakiet polski jest odpowiedzialny za spolszczenie % dokumentu. Pakiet polski (jak sama nazwa % wskazuje) powoduje, że LaTeX będzie mówił po % polsku (np. rozdziały będą rozdziałami, a nie % chapterami). Dodatkowo definiuje on parę % komend, jak np. \ppauza oraz zmienia definicje % kilku komend stosowanych w trybie matematycznym, % żeby uzyskać (częściową) zgodność z polskimi % zwyczajami w tym względzie. Dokumentacja % pakietu polski, będącego częścią większej % całości o nazwie ,,platex'', znajduje się w % pliku polski.dtx (należy go przetworzyć LaTeXem % trzykrotnie, ewentualnie ignorując komunikaty o % błędach przez wciśnięcie enter, a potem obejrzeć % powstały plik dvi lub pdf). \newcommand{\ball}{\overline{B}} % Kula domknięta. Alternatywą byłoby % \bar{B}, które daje jednak zbyt % krótką (jak na mój gust) kreskę. \newcommand{\Rset}{\mathbb{R}} % Zbiór liczb rzeczywistych. % Teraz deklarujemy środowiska typu theorem. Pakiet beamer % automatycznie ładuje AMSLaTeXa, więc możemy korzystać z jego % możliwości. "Style" twierdzeń (por. amsthdoc.pdf) nie będą w pełni % wykorzystane, ponieważ klasa beamer przedefiniowuje czcionki ich % nagłówków; nadal jednak teksty twierdzeń będą złożone kursywą, a % definicji, przykładów i uwag pismem prostym. \theoremstyle{plain} \newtheorem{twierdzenie}{Twierdzenie} % Środowisko "twierdzenie" \theoremstyle{definition} \newtheorem{definicja}{Definicja} \newtheorem{przyklad}{Przykład} \theoremstyle{remark} \newtheorem{uwaga}{Uwaga} \begin{document} % Poniżej ustawiamy tytularia. Pełen opis rzeczy, które można % umieszczać w tytulariach, znajduje się oczywiście w dokumentacji % klasy beamer. \title{Twierdzenia o~punktach stałych dla operatorów w~przestrzeniach metrycznych hiperwypukłych} \author{Marcin Borkowski} \date{5. stycznia 2007} \institute{Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w~Poznaniu} % Strona tytułowa. Środowisko frame definiuje "kadr", który w tym % przypadku składa się jedynie z tytulariów. ("Kadr" jest nieudolnym % tłumaczeniem angielskiego "frame"; jeśli umiesz to lepiej % przetłumaczyć, daj znać!) \begin{frame} \titlepage \end{frame} % Prezentacja składa się z paragrafów (sections). W użytym stylu % ,,Frankfurt'' lista paragrafów znajduje się na górze każdej strony; % kliknięcie na któryś z nich powoduje przejście na odpowiednią % stronę. \section{Preliminaria} \begin{frame} \frametitle{Definicja} % Każdy kadr może mieć tytuł. Nadawanie % tytułów kadrom jest dobrym zwyczajem. \begin{definicja}[Aronszajn--Panitchpakdi, 1956] Przestrzeń metryczną nazywamy \alert{hiperwypukłą}, gdy % komenda \alert{...} % wyświetla swój argument zaznaczając % go np. innym kolorem (w zależności % od stylu prezentacji) każda rodzina kul domkniętych $\{\ball(x_i,r_i)\}_{i\in I}$ spełniająca warunek \begin{equation*} d(x_i,x_j)\leqslant r_i+r_j\quad\text{dla~$i,j\in I$} \end{equation*} ma niepusty przekrój. \end{definicja} \begin{uwaga} Dla przestrzeni unormowanych, hiperwypukłość oznacza, że każda rodzina kul domkniętych przecinających się parami ma niepusty przekrój. \end{uwaga} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Przykłady} \begin{przyklad} Następujące przestrzenie metryczne są hiperwypukłe: \begin{itemize} \item $\Rset$; \item $\Rset^n$ z~normą ,,maksimum''; \item $l^\infty$ oraz $L^\infty(\Rset)$; \item $C_\Rset(K)$, gdzie $K$ jest zwartą i~ekstremalnie niespójną przestrzenią topologiczną Hausdorffa; \item $\Rset^2$ z~metryką ,,rzeka'' lub z~metryką ,,metra paryskiego''. \end{itemize} \end{przyklad} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Przykłady} \begin{twierdzenie} Jeśli $C$ jest podzbiorem Czebyszewa rzeczywistej przestrzeni unormowanej~$X$, zaś $d_C$~jest hiperwypukłą metryką na~$C$, to funkcja~$d$ określona wzorami: \begin{equation*} d(x,y)= \begin{cases} \|x-y\|,\\ \qquad\text{gdy $P_C(x)=P_C(y)$}\\ \qquad\text{oraz punkty $x,P_C(x),y$ są współliniowe;}\\[6pt] % makro \\[...] % kończy linię i wstawia odstęp % podanej długości. Nie jest to może % zbyt eleganckie, ale w przypadku % prezentacji ręczne cyzelowanie % (hand-tweaking) kodu jest raczej % niezbędne... \|x-P_C(x)\|+d_C\bigl(P_C(x),P_C(y)\bigr)+\|P_C(y)-y\|\\ \qquad\text{w~przeciwnym przypadku,} \end{cases} \end{equation*} jest hiperwypukłą metryką na~$X$. \end{twierdzenie} \end{frame} \section{Motywacje} \begin{frame} \frametitle{Motywacje} Dlaczego przestrzenie metryczne hiperwypukłe są interesujące?\\[12pt] % Środowisko overprint pozwala na umieszczenie w jednym "kadrze" % kilku "klatek" ("slides"). Działa to mniej więcej tak, że LaTeX % tworzy prostokąt tak duży, żeby zmieściła się w nim największa % "klatka", po czym na kolejnych stronach prezentacji umieszcza % kolejne "klatki". \begin{overprint} \onslide<2> % To, co znajduje się poniżej, będzie na klatce nr 2 % (czyli pierwsza jest "pusta", a na następnych są % omówione kolejno związki pojęcia hiperwypukłości z % różnymi dziedzinami matematyki). \textbf{Z~punktu widzenia \alert{analizy matematycznej}:}\\[3pt] przestrzenie hiperwypukłe są metrycznym odpowiednikiem\\ % Podział % akapitu na wiersze dobrze jest robić % ręcznie, umieszczając znaki końca % wiersza (\\) w odpowiednich % miejscach. W prezentacji wiersze są % krótkie i dobrze wykorzystać % przejścia do nowego wiersza jako % swego rodzaju "pauzy". \alert{przestrzeni Hahna--Banacha}. Innymi słowy, dowolne odwzorowanie Lipschitza z~podzbioru przestrzeni metrycznej~$X$ do przestrzeni\\hiperwypukłej~$H$ można rozszerzyć na całą przestrzeń~$X$\\z~zachowaniem stałej Lipschitza. \onslide<3> \textbf{Z~punktu widzenia \alert{topologii}:}\\[3pt] przestrzenie hiperwypukłe są \alert{nierozszerzającymi retraktami\\absolutnymi}. Innymi słowy, jeśli $H$ jest hiperwypukłą\\podprzestrzenią przestrzeni metrycznej~$X$, to istnieje\\nierozszerzająca retrakcja $R\colon X\to H$. \onslide<4> \textbf{Z~punktu widzenia \alert{teorii punktu stałego}:}\\[3pt] wiele \alert{klasycznych twierdzeń} o~punktach stałych\\ (twierdzenia typu Browdera--Goehde'a--Kirka, Schaudera, Darbo, Krasnosielskiego,\dots) ma swoje \alert{hiperwypukłe odpowiedniki}\ppauza\\zarówno jedno-, jak i~wielowartościowe. \onslide<5> \textbf{Z~punktu widzenia teorii punktu stałego:}\\[3pt] wiele klasycznych twierdzeń o~punktach stałych\\ (twierdzenia typu Browdera--Goehde'a--Kirka, Schaudera, Darbo, Krasnosielskiego,\dots) ma swoje hiperwypukłe odpowiedniki\ppauza\\zarówno jedno-, jak i~wielowartościowe. \begin{twierdzenie}[Baillon, 1988] Niech $F\colon H\to H$ będzie nierozszerzającym odwzorowaniem ograniczonej przestrzeni hiperwypukłej w~siebie. Wówczas\\$F$ ma punkt stały; ponadto, zbiór punktów stałych odwzorowania~$F$ jest hiperwypukły. \end{twierdzenie} \end{overprint} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Hiperwypukłość a~wypukłość} Czym różni się \alert<1>{hiperwypukłość} od \alert<1>{wypukłości}? % \alert<1>{...} % wyróżnia swój argument jedynie na % pierwszej "klatce". \pause \begin{itemize} \item zbiory wypukłe nie muszą być hiperwypukłe \item i~na odwrót. \end{itemize} Mimo to, wiele \alert<2>{własności} zbiorów wypukłych \alert<2>{przenosi się na przestrzenie hiperwypukłe}, choć dowody wymagają często\\\alert<2>{innych, subtelniejszych technik}. \pause \begin{itemize} \item \alert<3>{Przekrój} rodziny zbiorów hiperwypukłych\\ \alert<3>{nie musi być hiperwypukły}; \item przekrój \alert<3>{łańcucha} przestrzeni hiperwypukłych ograniczonych jest za to \alert<3>{niepusty i~hiperwypukły}; \item zatem ,,\alert<3>{powłoka hiperwypukła}'' istnieje, choć jest jednoznaczna tylko z~dokładnością do izometrii. \end{itemize} \end{frame} \section{Wyniki} \begin{frame} \frametitle{Dotychczas uzyskane wyniki} \begin{twierdzenie}[typu Krasnosielskiego] Załóżmy, że $H$ jest niepustym, hiperwypukłym i~słabo zwartym podzbiorem przestrzeni unormowanej~$X$, zaś $F_1$ i~$F_2$ są takimi odwzorowaniami z~$H$ do rodziny niepustych i~zwartych podzbiorów~$X$, że: \begin{enumerate}[(i)] \item $F_1$ jest silnie ciągłe; \item $F_2$ jest nierozszerzające (w~sensie metryki Hausdorffa); \item $F=F_1+F_2$ jest hemizwarte; \item $F(x)$ jest wypukłym podzbiorem~$H$ dla dowolnego~$x\in H$. \end{enumerate} Wówczas istnieje takie $x\in H$, że $x\in F(x)$. \end{twierdzenie} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Dotychczas uzyskane wyniki} % Tytuły kolejnych "klatek" % mogą oczywiście być takie same. \begin{twierdzenie} Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną hiperwypukłą, zaś $\Omega$ jej niepustym i~otwartym podzbiorem. Załóżmy, że istnieje taka ciągła homotopia $H\colon [0,1]\times\overline\Omega\to X$, że: \begin{enumerate}[(i)] \item odwzorowanie $H(0,\cdot)$ ma subaddytywny moduł ciągłości oraz jego zbiór wartości jest podzbiorem pewnego hiperwypukłego i~zwartego podzbioru~$V$ przestrzeni $\overline\Omega$; \item żadne z~odzworowań $H(\lambda,\cdot)$, gdzie $\lambda\in[0,1)$ nie ma punktów stałych na brzegu zbioru~$\Omega$; \item każdy taki podzbiór $C\subset\Omega$, że $C=\Omega\cap P$ dla pewnej powłoki hiperwypukłej~$P$ zbioru $H([0,1]\times C)\cup V$ jest relatywnie zwarty. \end{enumerate} Wówczas istnieje takie $x\in\overline\Omega$, że $x=H(1,x)$. \end{twierdzenie} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Dotychczas uzyskane wyniki} \begin{twierdzenie}[typu Leray--Schaudera] Niech $X$ będzie przestrzenią liniowo-metryczną, $H\subset X$ hiperwypukłym podzbiorem~$X$, a~$\Omega\subset H$ podzbiorem otwartym w~$H$. Niech $R\colon X\to H$ będzie ciągłą retrakcją na~$H$, przy czym $R(0)\in\overline\Omega$. Wówczas każde odwzorowanie ciągłe i~zwarte $F\colon\overline\Omega\to X$ ma co najmniej jedną z~poniższych własności: \begin{enumerate}[(i)] % argument opcjonalny pozwala zmienić sposób % numerowania elementów wyliczenia. Pakiet % beamer ładuje w tym celu pakiet enumerate. % Nie jest to rewelacja - lepiej robi to % pakiet enumitem - ale wystarczy. \item $F$ ma punkt stały; \item istnieją takie $x\in\partial\Omega$ i~$\lambda\in[0,1)$, że $x=R(\lambda F(x))$. \end{enumerate} \end{twierdzenie} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Dotychczas uzyskane wyniki} \begin{twierdzenie}[typu Darbo] Niech $H$ będzie ograniczoną przestrzenią hiperwypukłą, a~$F\colon H\to 2^H\setminus\{\emptyset\}$ multifunkcją półciągłą z~góry o~wartościach będących przekrojami rodzin kul domkniętych. Załóżmy ponadto, że istnieją: stała $q\in(0,1)$ oraz skończony zbiór $C\subset H$ takie, że $\alpha(F(A))\leqslant q\alpha(A)$ dla dowolnego $A\subset H$, gdzie $\alpha$ jest miarą niezwartości Kuratowskiego, oraz $F(x)\cap C\ne\emptyset$ dla dowolnego $x\in H$. Wówczas istnieje takie $x\in H$, że $x\in F(x)$. \end{twierdzenie} \end{frame} \begin{frame} \begin{center} \Huge Dziękuję. \end{center} \end{frame} \end{document} % Koniec i bomba...