Poniżej znajduje się elementarne wprowadzenie do arytmetyki finansowej (na poziomie, nazwijmy to, ambitnego licealisty
). Jest ono w fazie brudnopisu. Jeśli masz jakiekolwiek uwagi, sugestie itp., proszę o pozostawienie komentarza (link na dole strony).
Obliczenia procentowe
Zauważmy, że 15% z liczby x to po prostu 0,15x, zwiększenie o 50% to to samo, co pomnożenie przez 1,50, a zmniejszenie o 25% to równoważnie pomnożenie przez 0,75. Wypływa stąd parę wniosków.
- Dla wygody warto we wzorach pisać procenty jako ułamki. Jeśli roczna stopa procentowa wynosi 5%, będziemy pisać r=0,05, a nie r=5%. Odpada wtedy konieczność wpisywania do wzorów dzielenia przez 100% (które jest wszak równe 1, więc dzielenie przez 100% nic nie zmienia).
- Widać od razu, dlaczego jeśli obniżymy cenę o 10%, a potem ją podwyższymy o 10%, to, po pierwsze, nie wrócimy do ceny początkowej (bo 0,9 razy 1,1 to nie 1!), a ponadto jest od razu jasne, że kolejność tych operacji jest bez znaczenia (bo mnożenie jest przemienne).
- Od razu łatwiej rozwiązywać zadania w stylu 30% z pewnej liczby to 55; jaka to liczba? Po prostu, rozwiązujemy równanie 0,30x=55.
Zatem odtąd będziemy traktować procenty tak jak ułamki bez dalszych komentarzy.
Wartość pieniądza w czasie
Jest intuicyjnie oczywiste, że mieć 100 zł dziś a mieć obiecane 100 zł za rok to nie jest to samo. Jest tak nie tylko dlatego, że większość z nas jest niecierpliwa, ale też dlatego, że 100 zł otrzymane dziś możemy zanieść do banku i otrzymać je za rok wraz z odsetkami. Patrząc jeszcze inaczej: jeśli pożyczymy komuś pieniądze (np. bankowi, czyli wpłacimy je na lokatę), to mamy prawo oczekiwać, że bank nam za tę pożyczkę zapłaci, czyli de facto odda więcej, niż od nas dostał (jeszcze inaczej: odda nam dług z odsetkami). Jeśli z kolei to my weźmiemy w banku kredyt, to musimy nie tylko oddać bankowi dług, ale i odsetki, czyli zapłacić za to, że udostępnił nam pieniądze.
Widać więc, że jeśli Ambroży ma 20 zł, ale wie, że za rok dostanie 80 zł, zaś Błażej ma 80 zł, ale za rok dostanie jeszcze 20 zł, to Błażej jest w lepszej sytuacji, bowiem 80 zł dziś ma większą wartość niż 80 zł za rok itp.
Powstają zatem dwa pytania.
- Jak ściśle – matematycznie – porównywać kwoty pieniędzy w różnych momentach w czasie?
- Czy jest to nam właściwie potrzebne i do czego?
Odpowiedź na drugie pytanie brzmi tak. Przykładowo, jeśli Ambroży pożyczy Błażejowi 100 zł i umówią się, że Błażej odda Ambrożemu dług za rok, to obaj chcą wyliczyć, jaki odsetki powinien B oddać A po roku. Jeśli zaś np. firma może zainwestować pieniądze w pewne przedsięwzięcie, które po roku da jej 10000 zł zarobku, albo w inne, które po czterech latach da jej 12000 zł, jej zarządca chciałby wiedzieć, co jest korzystniejsze. Takie przykłady można by mnożyć; zrobimy to później w przykładach.
Odpowiedź na pierwsze pytanie zawarta jest w kolejnych paragrafach.
Oprocentowanie i dyskonto
Przeliczanie kwot pieniężnych na ich wartość przyszłą nazywa się oprocentowaniem. Przeliczanie przyszłych kwot pieniężnych na ich wartość obecną nazywa się dyskontowaniem. Tak więc kwota 100 zł (pożyczka Ambrożego dla Błażeja) po oprocentowaniu może wynieść np. 110 zł (i tyle Błażej będzie winny Ambrożemu za rok), zaś kwoty 10000 zł zarobku firmy za rok i 12000 zarobku za cztery lata po zdyskontowaniu mogą wynieść np. 9000 zł i 8500 zł (i wtedy okaże się, że pierwszy wariant jest korzystniejszy).
Odsetki proste
Najprostszym sposobem obliczania odsetek (czyli różnicy między obecną a przyszłą wartością jakiejś kwoty) są tzw. odsetki proste. Załóżmy, że dysponujemy w tej chwili kwotą 100 zł i chcemy poznać jej wartość za rok. Stopa procentowa (która mówi, jak szybko zmienia się wartość pieniądza; jednocześnie, jak za chwilę zobaczymy, jest ona ceną pożyczki) wynosi – powiedzmy – 10%. Odsetki, jakie przez rok narosną od tej kwoty, wynoszą więc 0,10·100=10 zł. Innymi słowy, Błażej będzie winny Ambrożemu 110 zł za rok (100 zł kapitału – musi wszak oddać to, co pożyczył – i 10 zł odsetek – czyli zapłaty za to, że A postawił 100 zł do jego dyspozycji).
Napiszmy to samo przy użyciu liter:
[Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ] (kapitał po 1 roku to kapitał “w chwili zero”, czyli na początku, plus odsetki)
[Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ] (odsetki to kapitał pomnożony przez roczną stopę procentową)
[Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ]
Tu znów można zadać kilka pytań.
- Co jeszcze można policzyć tą metodą?
- Co będzie, jeśli pożyczka zostanie udzielona na więcej lub mniej niż rok?
Odpowiedź na pierwsze pytanie jest prosta. Mając dane: kapitał po roku ([Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ]) oraz roczną stopę procentową ([Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ]), możemy wyliczyć wartość dzisiejszą tego kapitału ([Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ]). Jest to dokładnie operacja dyskontowania, o której była mowa przed chwilą. Otrzymujemy wówczas odpowiedź na pytanie: “ile mogę pożyczyć dziś pieniędzy, jeśli za rok będę mógł oddać tyle a tyle, a stopa procentowa wynosi tyle a tyle”.
(Możemy też obliczyć [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ] mając dane [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ] i [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ]; ułóż odpowiednie zadanie!)
Jeśli pożyczka trwa dłużej lub krócej niż rok, do wzoru należy wprowadzić pewną modyfikację. Załóżmy na przykład, że r=0,12 (czyli roczna stopa procentowa wynosi 12%), ale pożyczka trwa tylko jeden miesiąc. Zastosujemy wówczas wzór
[Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ].
Innymi słowy, użyjemy stopy procentowej za jeden miesiąc – czyli jednej dwunastej stopy rocznej. Analogicznie postąpilibyśmy, gdyby pożyczka była udzielona np. na n lat – pisalibyśmy wtedy [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ].
Odsetki składane
Uważny czytelnik spostrzeże, że wzory z poprzedniego akapitu mają dość paradoksalne implikacje. Istotnie, załóżmy, że Ambroży pożycza Błażejowi 100 zł na 10% w skali roku na pięć lat. Jak łatwo policzyć, powinien otrzymać [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ] zł. Ale wyobraźmy sobie, że jest nieco inaczej: Ambroży pożycza Błażejowi 100 zł na 10% rocznie na jeden rok; następnie kwotę, jaką otrzyma od Błażeja, natychmiast pożycza Cecylii (znów na jeden rok przy tej samej stopie procentowej); całą otrzymaną od Cecylii kwotę pożycza Dawidowi, następnie Eleonorze i Filipowi. Pytanie: jaką kwotę otrzyma od Filipa po piątym roku (i piątej pożyczce)?
Policzmy. Od Błażeja Ambroży otrzyma oczywiście 110 zł. Od Cecylii – 121 zł. Od Dawida – 133 zł 10 gr, od Eleonory – 146 zł 41 gr i wreszcie od Filipa (po zaokrągleniu do pełnego grosza) 161 zł 5 gr.
Co w tym dziwnego? Ano to, że zupełnie jak w pierwszym przypadku, Ambroży oddał do dyspozycji kwotę 100 zł na pięć lat, tyle, że nie jednej osobie, ale pięciu osobom po kolei. Jednak dla niego to żadna różnica – przez pięć lat nie miał stu złotych; mógł nawet nie widzieć na oczy kwot zwrotów od Błażeja, Cecylii, Dawida i Eleonory – nic nie stoi na przeszkodzie, żeby przekazali oni pieniądze bezpośrednio kolejnym pożyczkobiorcom. mamy więc pewien paradoks: z punktu widzenia Ambrożego za identyczną usługę (postawienie kwoty 100 zł do dyspozycji na 5 lat) otrzymuje on różne wynagrodzenie (50 zł lub 61,05 zł) w zależności od czynników, które nie powinny grać żadnej roli!
Rozwiązanie paradoksu nie jest skomplikowane.