Poniżej obiecany przykład zadania na metodę Fouriera rozdzielania zmiennych – troszkę (ale tylko troszkę) innego typu, niż były na zajęciach.
Rozważmy następujący problem:
[Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ]
Jak widać, warunek brzegowy na prawym końcu struny jest z pochodną, a nie funkcją szukaną.
Co robimy?
Piszemy [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ] (jak zwykle). Warunki brzegowe dają [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ] i [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ]. Standardowym sposobem dochodzimy do równania [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ]. Oczywiście [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ] (bo otrzymalibyśmy rozwiązanie zerowe). Tak jak zwykle badamy, co się dzieje, gdy [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ], i okazuje się, że tak być nie może. Pozostaje więc [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ], a więc [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ] (oczywiście, możemy to otrzymać tak, jak na zajęciach, pisząc [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ] itd.). Teraz korzystamy z warunków brzegowych: skoro [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ], to [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ] i wyraz z kosinusem znika. Warunek [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ] (i tu jest novum) daje nam [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ], a więc [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ] i stąd [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ] dla [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ] (ponieważ lewa strona jest nieujemna, to i [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ]). Otrzymujemy zatem wartości własne postaci [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ] dla [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ] i w zasadzie jesteśmy w domu. Możemy bowiem (dokładnie tak, jak na zajęciach) wstawić znalezione wartości własne do wzoru na [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ], rozpisujemy odpowiedni szereg (tak, jak na zajęciach) i pozostaje znaleźć współczynniki w tym szeregu. Nie jest to wprawdzie typowy szereg Fouriera (a raczej: jest, ale współczynniki o numerach parzystych się zerują - i to jest drugie novum), ale znalezienie współczynników nie jest już trudne. Dla przykładu, otrzymujemy w pewnym momencie coś takiego: [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ]. Jeśli napiszemy równość [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ], za [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ] podstawimy powyższy szereg i scałkujemy wyraz po wyrazie, to problem sprowadzi się do wyliczenia (względnie) prostych całek (Krysicki & Włodarski to nasi najlepsi koledzy
); wszystkie z nich się wyzerują, z wyjątkiem tej dla [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ], i otrzymamy w ten sposób, że [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ] oraz w końcu [Error: dvipng binary and convert binary not found at /usr/bin/dvipng or ].
No i to by było na tyle.