Poniżej znajduje się tekst referatu o zastosowaniach twierdzeń o punktach stałych, dostępnego też w wersji [[download:g?]]. Uwaga: jeśli Twój system operacyjny używa kodowania innego niż UTF-8, musisz zmienić deklarację \usepackage[...]{inputenc} (zob. niżej).
\documentclass[titleauthor]{mwart}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem}
\hyphenation{lip-schi-tzow-ska Brou-we-ra}
\setlist{nolistsep}
\setenumerate[1]{label=\tu{(\arabic*)}}
\setitemize[1]{label=--}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{Twierdzenie}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Wniosek}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Definicja}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{remark}{Uwaga}
\newcommand{\Nset}{{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Rset}{{\mathbb{R}}}
\newcommand{\set}[1]{\{#1\}}
\newcommand{\dset}[2]{\set{#1:#2}}
\newcommand{\map}[2]{\colon #1\to #2}
\newcommand{\selfmap}[1][X]{\map{#1}{#1}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert #1\rvert}
\newcommand{\biggabs}[1]{\biggl\lvert #1\biggr\rvert}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1\rVert}
\newcommand{\inorm}[1]{\norm{#1}_\infty}
\newcommand{\snorm}[1]{\norm{#1}_{(1)}}
\newcommand{\cl}[1]{\overline{#1}}
\DeclareMathOperator{\conv}{conv}
\DeclareMathOperator{\Comm}{Comm}
\newcommand{\ball}{\overline{B}}
\newcommand{\Lc}{{\mathcal{L}}}
\newcommand{\C}{{\mathcal{C}}}
\newcommand{\sC}{\C^{(1)}}
\newcommand{\tu}{\textup}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\newcommand{\border}{\partial}
\title{O~zastosowaniach twierdzeń o~punktach stałych\footnote{Referat
wygłoszony 27~marca 2007~r. w~ramach prac Grupy Aktywnych
Doktorantów ,,GAD'' na Wydziale Matematyki i~Informatyki UAM
w~Poznaniu.}}
\author{Marcin Borkowski}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
Wszyscy znamy twierdzenie Banacha o~kontrakcji czy twierdzenie
Brouwera o~punkcie stałym. Stosunkowo rzadko jednak mamy okazję
zobaczyć je przy pracy. Celem niniejszego referatu nie jest
w~żadnym przypadku próba przedstawienia całościowego poglądu na
teorię punktu stałego jako taką, do czego nie czuję się zresztą
kompetentny, lecz raczej pokazanie dwóch jej klasycznych rezultatów:
twierdzeń Banacha i~Schaudera (które uogólnia twierdzenie Brouwera),
oraz ich przykładowych zastosowań. Jako bonus opowiem też trochę
o~kilku mniej znanych twierdzeniach związanych z~tymi wynikami.
Referat oparty jest na monografii A.~Granasa i~J.~Dugundji'ego
,,Fixed point theory'' (PWN, Warszawa 1982).
\end{abstract}
\section{Twierdzenie Banacha o~kontrakcji}
\subsection{Sformułowanie i~dowód twierdzenia}
\begin{theorem}[Banacha o~kontrakcji]
Niech $F\selfmap$ będzie kontrakcją przestrzeni metrycznej
zupełnej w~siebie. Wówczas $F$ ma jedyny punkt stały~$x_0$\tu;
co więcej\tu, dla dowolnego $x\in X$ zachodzi $\lim_n F^n(x)=x_0$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Niech $k\in(0,1)$ będzie stałą Lipschitza dla~$F$. Obierzmy
$x\in X$. Mamy $d(F^n(x),F^{n+1}(x))\le k^n d(x,F(x))$. Stąd
otrzymujemy $d(F^m(x),F^{m+p}(x)) \le
\sum_{n=m}^{p-1}k^n d(x,F(x)) \le \sum_{n=m}^\infty
k^n d(x,F(x)) = \frac{k^m}{1-k}d(x,F(x))\to0$, zatem
ciąg $(F^n(x))$ jest ciągiem Cauchy'ego. Niech $x_0=\lim_n
F^n(x)$. Mamy $F(F^n(x))\to F(x_0)$; ale $F(F^n(x))= F^{n+1}(x)\to
x_0$ i~stąd $x_0=F(x_0)$. Wreszcie, gdyby $y_0$ było innym punktem
stałym funkcji~$F$, byłoby $d(x_0,y_0)\le kd(F(x_0),F(y_0)) <
d(x_0,y_0)$\ppauza sprzeczność.
\end{proof}
\subsection{Rezultaty pokrewne}
\begin{corollary}[lokalna wersja twierdzenia Banacha]
\label{cor:lokalny-Banach}
Niech $X$ będzie zupełną przestrzenią metryczną\tu,
a~$F\map{B(u,r)}{X}$ będzie kontrakcją ze stałą Lipschitza~$k$.
Jeśli $d(u,F(u))<(1-k)r$\tu, to $F$ ma punkt stały.
\end{corollary}
\begin{theorem}[Browdera]
Niech $\phi\selfmap[\Rset_+]$ będzie funkcją niemalejącą\tu,
prawostronnie ciągłą i~spełniającą nierówność $\phi(t) dla $t>0$.
Załóżmy\tu, że $F\selfmap$ jest odwzorowaniem przestrzeni
metrycznej zupełnej~$X$ w~siebie spełniającym warunek
$d(F(x),F(y))\le\phi(d(x,y))$. Wówczas $F$ ma jedyny punkt stały
$x_0$ oraz $\lim_n F^n(x)=x_0$ dla dowolnego $x\in X$.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Browdera--Goehde'a--Kirka]
Nierozszerzające odwzorowanie niepustego\tu, domkniętego\tu,
ograniczonego i~wypukłego podzbioru przestrzeni Hilberta w~siebie ma
punkt stały.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Bessagi]
Niech $F\selfmap$ będzie takim odwzorowaniem zbioru $X$
w~siebie\tu, że każda iteracja $F^n$ dla $n\in\Nset$ ma dokładnie
jeden punkt stały. Wówczas dla dowolnej stałej $k\in(0,1)$ istnieje
zupełna metryka na~$X$\tu, względem której $F$ jest kontrakcją ze
stałą Lipschitza~$k$.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Meyersa]
Niech $(X,d)$ będzie zupełną przestrzenią metryczną\tu,
a~$F\selfmap$ odwzorowaniem spełniającym następujące warunki\tu:
\begin{enumerate}
\item $F(x_0)=x_0$ dla pewnego $x_0\in X$\tu;
\item $\lim_n F^n(x)=x_0$ dla każdego $x\in X$\tu;
\item istnieje takie otoczenie $U$ punktu~$x_0$\tu, że dla dowolnego
otoczenia~$V$ tego punktu istnieje taki indeks~$n_V$\tu, że
$F^n(V)\subset U$ dla $n\ge n_V$.
\end{enumerate}
Wówczas dla dowolnej stałej $k\in(0,1)$ istnieje równoważna z~$d$
metryka zupełna na~$X$, przy której $F$ jest kontrakcją ze
stałą~$k$.
\end{theorem}
\begin{remark}
Twierdzenia Bessagi i~Meyersa pokazują, że w~pewnym sensie
twierdzenia Banacha o~kontrakcji nie da się ,,ulepszyć''.
\end{remark}
\subsection{Zastosowania}
\begin{theorem}[o~zachowaniu otwartości]
\label{th:zach-otw}
Niech $V$ będzie otwartym podzbiorem przestrzeni Banacha~$X$
i~$F\map{V}{X}$ będzie kontrakcją. Wówczas odwzorowanie
$f\map{V}{X}\colon x\mapsto x-F(x)$ jest otwarte\tu;
w~szczególności\tu, $W:=f(V)$ jest otwarty w~$X$ i~$f\map{V}{W}$
jest homeomorfizmem.
\end{theorem}
\begin{proof}
Niech $k$ będzie stałą Lipschitza odwzorowania~$F$.
Wykażemy wpierw otwartość~$f$; dokładniej, pokażemy, że dla
dowolnego $u\in V$, jeśli $B(u,r)\subset V$, to
$B(f(u),(1-k)r)\subset f(B(u,r))$. Niech $y_0\in B(f(u),(1-k)r)$.
Zdefiniujmy odwzorowanie $G\map{B(u,r)}{X}$ wzorem $G(y):=y_0+F(y)$;
wówczas $G$ jest również kontrakcją ze stałą~$k$ i~$\norm{u-G(u)} =
\norm{y_0+F(u)-u} = \norm{y_0-f(u)} < (1-k)r$. Na mocy
wniosku~\ref{cor:lokalny-Banach} istnieje takie $u_0\in B(u,r)$, że
$u_0=y_0+F(u_0)$, czyli $y_0=f(u_0)$. To zaś oznacza, że $y_0\in
f(B(u,r))$.
Pozostaje wykazać iniektywność~$f$. Mamy:
\begin{align*}
\norm{u-v}&=\norm{f(u)-f(v)+F(u)-F(v)}\le\\
&\le\norm{f(u)-f(v)}+\norm{F(u)-F(v)}\le\\
&\le\norm{f(u)-f(v)}+k\norm{u-v},
\end{align*}
a~zatem $\norm{f(u)-f(v)}\ge(1-k)\norm{u-v}$.
\end{proof}
\begin{theorem}[o~funkcji odwrotnej]
Niech $U$ będzie otwartym podzbiorem przestrzeni Banacha~$X$\tu,
a~$f\map{U}{X}$\ppauza odwzorowaniem klasy~$\sC$. Załóżmy\tu, że
dla pewnego $x_0$\tu, pochodna $Df(x_0)\selfmap$ jest
izomorfizmem. Istnieją wówczas takie otoczenia\tu: $V$~punktu~$x_0$
i~$W$~punktu~$f(x_0)$\tu, że\tu:
\begin{enumerate}
\item $Df(x)\selfmap$ jest odwracalny dla każdego $x\in V$\tu;
\item $f|_V\map{V}{W}$ jest homeomorfizmem\tu;
\item odwrócenie $g\map{W}{V}$ odwzorowania $f|_V$ jest
różniczkowalne dla każdego $w\in W$ oraz $Dg(w)=(Df(gw))^{-1}$\tu;
\item odwzorowanie $w\mapsto Dg(w)$ zbioru~$W$ w~przestrzeń
$\Lc(X,X)$ jest ciągłe.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
Rozpatrzmy wpierw przypadek, gdy $x_0=f(x_0)=0$ i~$Df(0)=I$.
Ponieważ zbiór wszystkich odwracalnych operatorów liniowych ciągłych
jest otwarty w~$\Lc(X,X)$, $x\mapsto Df(x)$ jest ciągłe i~$Df(0)$ jest
odwracalny, istnieje taka kula $B\subset U$ zawierająca zero, że
operator $Df(x)$ jest odwracalny dla każdego $x\in B$. Określmy
$F\map{B}{X}$ wzorem $F(x):=x-f(x)$. Wówczas $F$ jest klasy~$\sC$,
$DF(0)=0$ i~istnieje taka kula $V\subset B$ zawierająca zero,
że $M:=\sup\dset{\norm{DF(x)}}{x\in V}<\frac12$.
Z~twierdzenia o~wartości średniej mamy dla $u,v\in V$:
\begin{equation*}
\norm{F(u)-F(v)}\le M\norm{u-v}<\tfrac12\norm{u-v},
\end{equation*}
więc $F|_V$ jest kontrakcją. Na mocy twierdzenia~\ref{th:zach-otw},
$f|_V\map{V}{W:=f(V)}$ jest homeomorfizmem na zbiór~$W$; oczywiście
$0\in W$. Dowód części~(1) i~(2) jest zakończony.
Zauważmy, że jak w~końcówce dowodu twierdzenia~\ref{th:zach-otw}
można pokazać, że dla $u,v\in V$ zachodzi nierówność
$\norm{u-v}\le2\norm{f(u)-f(v)}$. Uzbrojeni w~tę obserwację,
pokażemy punkt~(3). Niech $g\map{W}{V}$ będzie odwróceniem~$f|_V$.
Dla $y,b\in W$, połóżmy $a:=g(b)$, $x:=g(y)$ i~$T:=Df(a)$. Ponieważ
$f$ jest różniczkowalna w~$a$, więc
\begin{equation*}
f(x)-f(a)=T(x-a)+\phi_a(x)\quad\text{oraz}\quad
\text{$\frac{\norm{\phi_a(x)}}{\norm{x-a}}\to 0$, gdy
$\norm{x-a}\to0$.}
\end{equation*}
Działając na obie strony operatorem $T^{-1}$, otrzymujemy
\begin{equation*}
T^{-1}(y-b)=g(y)-g(b)+T^{-1}\phi_{g(b)}(g(y)),
\end{equation*}
a~więc wystarczy pokazać, że
\begin{equation*}
R_b(y):=\frac{\norm{T^{-1}\phi_{g(b)}(g(y))}}{\norm{y-b}}\to0,
\quad\text{gdy}\quad
\norm{y-b}\to0.
\end{equation*}
Ponieważ $g\map{W}{V}$ jest bijekcją, mamy:
\begin{align*}
R_b(y)&\le
\frac{\norm{T^{-1}\phi_{g(b)}(g(y))}}{\norm{g(y)-g(b)}}\cdot
\frac{\norm{g(y)-g(b)}}{\norm{y-b}}\le\\
&\le2\norm{T^{-1}}\frac{\norm{\phi_{g(b)}(g(y))}}{\norm{g(y)-g(b)}}=\\
&=2\norm{T^{-1}}\frac{\phi_a(x)}{\norm{x-a}}.
\end{align*}
Zatem, jeśli $\norm{y-b}\to0$, to dzięki ciągłości~$g$ również
$\norm{x-a}\to0$ i~wówczas $R_b(y)\to0$, co kończy dowód części~(3).
Dla dowodu~(4) wystarczy po prostu zauważyć, że odwzorowanie
$w\mapsto Dg(w)$ jest następującym złożeniem odwzorowań ciągłych:
$\operatorname{Inv}\circ Df\circ g$,
i~dowód twierdzenia w~przypadku $x_0=f(x_0)=0$ i~$Df(0)=I$ jest
zakończony. Aby pokazać tezę w~przypadku ogólnym, wystarczy
zastosować powyższe rozumowanie dla odwzorowania
$h(x):=(Df(x_0))^{-1}(f(x+x_0)-f(x_0)$.
\end{proof}
\begin{theorem}[o~istnieniu rozwiązania nieliniowego równania
całkowego typu Volterry II~rodzaju]
Niech funkcja $K\map{[0,T]\times[0,T]\times\Rset}{\Rset}$ będzie
ciągła i~lipschitzowska ze względu na trzecią zmienną\tu, tj.
$\abs{K(t,s,x)-K(t,s,y)}\abs{x-y}$. Niech $v\in\C[0,T]$. Wówczas
następujące nieliniowe równanie całkowe Volterry II~rodzaju
\begin{equation*}
u(t)=v(t)+\int_0^t\! K(t,s,u(s))\,ds
\end{equation*}
ma dokładnie jedno rozwiązanie $u_0\in\C[0,T]$. Co więcej\tu, dla
dowolnej funkcji $u_1\in\C[0,T]$\tu, ciąg $(u_n)$\tu, gdzie
\begin{equation*}
u_{n+1}:=v(t)+\int_0^t\! K(t,s,u_n(s))\,ds,
\end{equation*}
jest jednostajnie zbieżny do~$u_0$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Przenormujmy przestrzeń $\C[0,T]$ następująco:
\begin{equation*}
\norm{g}:=\max_{t\in[0,T]}e^{-Lt}\abs{g(t)}.
\end{equation*}
Ponieważ $e^{-Lt}\inorm{g}\le\norm{g}\le\inorm{g}$,
norma ta jest równoważna zwykłej normie supremalnej (w~szczególności
jest zupełna).
Zdefiniujmy operator $F\selfmap[{\C[0,T]}]$ wzorem
\begin{equation*}
F(g)(t):=v(t)+\int_0^t\! K(t,s,g(s))\,ds;
\end{equation*}
wystarczy pokazać, że $F$ jest kontrakcją. Obierzmy $g,h\in\C[0,T]$.
Mamy:
\begin{align*}
\norm{F(g)-F(h)}&=
\max_{t\in[0,T]}e^{-Lt}\biggabs{\int_0^t K(t,s,g(s))-K(t,s,h(s))\,ds}\le\\
&\le\max_{t\in[0,T]}e^{-Lt}\int_0^t\abs{K(t,s,g(s))-K(t,s,h(s))}\,ds\le\\
&\le L\max_{t\in[0,T]}e^{-Lt}\int_0^t\abs{g(s)-h(s)}\,ds\le\\
&\le L\max_{t\in[0,T]}e^{-Lt}\int_0^t\! e^{Ls}e^{-Ls}\abs{g(s)-h(s)}\,ds\le\\
&\le L\norm{g-s}\max_{t\in[0,T]}e^{-Lt}\int_0^t\! e^{Ls}\,ds=\\
&=L\norm{g-h}\max_{t\in[0,T]}e^{-Lt}\frac{e^{Lt}-1}{L}\le\\
&\le(1-e^{-LT})\norm{g-h}.\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\begin{remark}
Oczywiście, gdy $LT<1$, trik z~przenormowaniem jest zbędny.
\end{remark}
\section{Twierdzenie Schaudera o~punkcie stałym}
\addtocounter{subsection}{-1}
\subsection{Preliminaria}
\begin{theorem}[Brouwera o~punkcie stałym]
Ciągłe odwzorowanie niepustego\tu, domkniętego\tu, ograniczonego
i~wypukłego podzbioru skończeniewymiarowej przestrzeni unormowanej
w~siebie ma punkt stały.
\end{theorem}
\begin{definition}
Niech $F\map{X}{Y}$ będzie ciągłym odwzorowaniem między
przestrzeniami topologicznymi $X$ i~$Y$. Nazywamy je:
\begin{itemize}
\item \emph{zwartym}, jeśli $F(X)$ jest warunkowo zwarty w~$Y$;
\item \emph{pełnociągłym}, jeśli $X$ jest metryczna i~obraz każdego
zbioru ograniczonego w~$X$ jest warunkowo zwarty w~$Y$;
\item skończeniewymiarowym, jeśli $Y$ jest liniowa i~$F(X)$ zawiera
się w~pewnej podprzestrzeni~$Y$ o~wymiarze skończonym;
\item \emph{ograniczonym}, jeśli $Y$ jest metryczna i~$F(X)$ jest
ograniczony w~$Y$.
\end{itemize}
\end{definition}
\begin{remark}
Na mniej uważnego czytelnika czyha w~powyższej definicji pułapka:
\emph{odwzorowanie} zwarte (odpowiednio: pełnociągłe, ograniczone)
i~\emph{operator liniowy} zwarty (odpowiednio: pełnociągły,
ograniczony) to nie jest to samo!
\end{remark}
\begin{theorem}[aproksymacyjne Schaudera]
Niech $F\map{X}{C}$ odwzorowuje przestrzeń topologiczną~$X$ w~pewien
wypukły podzbiór~$C$ przestrzeni unormowanej. Wówczas dla dowolnego
$\eps>0$ istnieją\tu: zbiór skończony~$N\subset F(X)$ i~takie
odwzorowanie skończeniewymiarowe $F_\eps\map{X}{C}$\tu, że
$F_\eps(X)\subset\conv N$ oraz~$\norm{F_\eps(x)-F(x)}<\eps$ dla
każdego $x\in X$.
\end{theorem}
\begin{definition}
Niech $F\selfmap$ będzie odwzorowaniem przestrzeni metrycznej~$X$
w~siebie, a~$\eps$ liczbą dodatnią. Punkt $x\in X$ nazywamy
\emph{punktem $\eps$\nobreakdash-stałym}
odzworowania~$F$, gdy $d(x,F(x))<\eps$.
\end{definition}
\begin{remark}
\label{rem:eps-pkty-stale}
Niech $F\selfmap$ będzie zwartym odwzorowaniem przestrzeni
metrycznej~$X$ w~siebie. Jeśli $F$ ma punkt $\eps$-stały dla
każdego $\eps>0$, to ma punkt stały. Istotnie, niech $x_n$ będzie
$\frac{1}{n}$-punktem stałym odwzorowania~$F$; bez utraty ogólności
możemy założyć, że $F(x_n)\to x_0$. Wówczas mamy $d(x_n,x_0)\le
d(x_n,F(x_n))+d(F(x_n),x_0)\to0$, a~zatem $F(x_n)\to F(x_0)$
i~$x_0=F(x_0)$.
\end{remark}
\subsection{Sformułowanie i~dowód twierdzenia}
\begin{theorem}[Schaudera o~punkcie stałym]
Zwarte odwzorowanie niepustego i~wypukłego podzbioru przestrzeni
unormowanej w~siebie ma punkt stały.
\end{theorem}
\begin{proof}
Niech $F\selfmap[C]$ będzie odwzorowaniem, o~jakim mowa
w~twierdzeniu. Obierzmy $\eps>0$ i~niech $F_\eps\selfmap[C]$ będzie
takim odwzorowaniem skończeniewymiarowym, że
$\norm{F_\eps(x)-F(x)}<\eps$ dla $x\in C$ oraz
$F_\eps(C)\subset\conv N\subset C$ dla pewnego zbioru
skończonego~$N$. Twierdzenie Brouwera zastosowane do odwzorowania
$F_\eps|_{\conv N}$ gwarantuje istnienie takiego punktu~$x_0\in C$,
że $x_0=F_\eps(x_0)$, skąd otrzymujemy
$\norm{x_0-F(x_0)}=\norm{F_\eps(x_0)-F(x_0)}<\eps$. Wystarczy teraz
skorzystać z~Uwagi~\ref{rem:eps-pkty-stale}.
\end{proof}
\subsection{Rezultaty pokrewne}
\begin{corollary}
Ciągłe odwzorowanie niepustego\tu, zwartego i~wypukłego podzbioru
przestrzeni unormowanej w~siebie ma punkt stały.
\end{corollary}
\begin{theorem}[alternatywa nieliniowa]
Niech $C$ będzie wypukłym podzbiorem przestrzeni unormowanej\tu, $U$
zbiorem otwartym w~$C$ zawierającym zero\tu, zaś $F\map{\cl{U}}{C}$
odzorowaniem zwartym. Wówczas $F$ ma punkt stały lub istnieje taki
punkt $x\in\border U$ i~stała $\lambda\in(0,1)$\tu, że $x=\lambda
F(x)$.
\end{theorem}
\begin{definition}
Niech $A$ będzie ograniczonym podzbiorem przestrzeni metrycznej.
Kres dolny zbioru takich liczb $\eps>0$, że $A$ można pokryć
skończenie wieloma zbiorami o~średnicy mniejszej niż~$\eps$,
nazywamy \emph{miarą niezwartości \tu(Kuratowskiego\tu)} zbioru~$A$
i~oznaczamy przez~$\alpha(A)$.
\end{definition}
\begin{theorem}[Darbo]
Niech $C$ będzie niepustym\tu, domkniętym\tu, ograniczonym
i~wypukłym podzbiorem przestrzeni Banacha. Załóżmy\tu, że istnieje
taka stała $k\in(0,1)$\tu, że odwzorowanie ciągłe $F\selfmap[C]$
spełnia warunek $\alpha(F(A))\le k\alpha(A)$ dla każdego
$A\subset C$. Wówczas $F$ ma punkt stały.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Sadowskiego]
Niech $C$ będzie niepustym\tu, domkniętym\tu, ograniczonym
i~wypukłym podzbiorem przestrzeni Banacha. Załóżmy\tu, że
odwzorowanie ciągłe $F\selfmap[C]$ spełnia warunek
$\alpha(F(A))<\alpha(A)$ dla każdego takiego $A\subset C$\tu, że
$\alpha(A)>0$. Wówczas $F$ ma punkt stały.
\end{theorem}
\subsection{Zastosowania}
\begin{theorem}[Peano]
Niech $g\map{[0,T]\times\Rset}{\Rset}$ będzie funkcją ciągłą
i~ograniczoną. Wówczas zagadnienie Cauchy'ego
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
u'(t)&=g(t,u)&\text{dla $t\in[0,T]$}\\
u(0)&=0
\end{aligned}\right.\tag{$*$}
\end{equation*}
ma rozwiązanie klasy $\C^{(1)}[0,T]$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Zdefiniujmy przestrzeń $\sC_0:=\dset{u\in\sC[0,T]}{u(0)=0}$
i~unormujmy ją następująco:
$\snorm{u}:=\max\set{\inorm{u},\inorm{u'}}$. Oznaczmy też
$\C:=\C[0,T]$. Rozważmy operator $L\map{\sC_0}{\C}\colon u\mapsto
u'$. Oczywiście jest on bijekcją, ponieważ posiada operator
odwrotny określony wzorem $L^{-1}f(t):=\int_0^t f(x)\,dx$. Mamy dla
$u\in\sC_0$ i~$f=Lu$:
\begin{align*}
\inorm{u}=\inorm{L^{-1}f}&=\sup_{t\in[0,T]}\biggabs{\int_0^t\!f(x)\,dx}\le\\
&\le\sup_{t\in[0,T]}\int_0^t\abs{f(x)}\,dx\le\\
&\le\sup_{t\in[0,T]}\int_0^t\inorm{f(x)}\,dx=T\inorm{f}=T\inorm{Lu}
\end{align*}
oraz $\inorm{u'}=\inorm{Lu}$ i~w~konsekwencji
$\snorm{u}\le\max\set{T,1}\inorm{Lu}$. Oznacza to, że operator
$L^{-1}\map{\C}{\sC_0}$ jest ciągły.
Zdefiniujmy $G\selfmap[\C]$ wzorem $G(u)(t):=g(t,u(t))$ oraz niech
$j\map{\sC_0}{\C}$ będzie inkluzją. Ograniczoność funkcji~$g$
implikuje ograniczoność odzworowania~$G$, zaś z~lematu Arzeli
wynika, że $j$ jest pełnociągła. Stąd odwzorowanie
$jL^{-1}G\selfmap[\C]$ jest zwarte. Na mocy twierdzenia Schaudera
istnieje więc taka funkcja $u\in\C$, że $u=jL^{-1}G(u)$. Oznacza to,
że $Lu=Gu$, czyli że $u$ jest rozwiązaniem zagadnienia~$(*)$.
\end{proof}
\begin{theorem}[Łomonosowa]
Niech $T$ będzie ciągłym operatorem liniowym na
nieskończeniewymiarowej przestrzeni unormowanej~$X$. Jeśli $T$
komutuje z~pewnym niezerowym operatorem liniowym zwartym~$K$\tu, to
ma nietrywialną domkniętą podprzestrzeń niezmienniczą.
\end{theorem}
\begin{proof}
Niech $\Comm(T)$ będzie zbiorem ciągłych operatorów liniowych
komutujących z~$T$. Dla $y\in X\setminus\set0$ oznaczmy
$L_y:=\dset{Ay}{A\in\Comm(T)}$. Każde $L_y$ jest podprzestrzenią
liniową $B$-niezmienniczą dla dowolnego $B\in\Comm(T)$ (istotnie,
niech $x\in B(L_y)$, czyli $x=BAy$ dla pewnego $A\in\Comm(T)$; ale
$BA\in\Comm(T)$, więc $x\in L_y$). Nie może też być $L_y=\set{0}$,
bo $I\in\Comm(T)$, więc $y\in L_y$. Możliwe są dwa przypadki: albo
pewna podprzestrzeń $L_{y_0}$ nie jest gęsta w~$X$, albo wszystkie
$L_y$ są gęste. W~pierwszym przypadku mamy
$T(\cl{L_{y_0}})\subset\cl{T(L_{y_0})}\subset\cl{L_{y_0}}$, więc
$L_{y_0}$ jest szukaną podprzestrzenią. Załóżmy więc, że wszystkie
$L_y$ są gęste w~$X$.
Ponieważ $\ker K$ jest podprzestrzenią domkniętą~$X$ różną od całej
przestrzeni, więc istnieje kula $B=B(x_0,r)\subset X\setminus\ker
K$. Ewentualnie zmniejszając promień, możemy założyć, że
$0\notin\cl{K(B)}$ oraz $0\notin\ball$. Wreszcie, $K$ jest
operatorem liniowym zwartym, więc zbiór $\cl{K(B)}$ jest zwarty.
Skoro $L_y$ jest gęsta w~$X$ dla $y\ne0$, więc dla każdego
$c\in\cl{K(B)}$ istnieje taki operator $D_c\in\Comm(T)$, że
$D_c(c)\in B$. Z~ciągłości~$K$ wnosimy, że dla dowolnego
$c\in\cl{K(B)}$ istnieje taka kula $B(c,\eps_c)$, że
$D_c(B(c,\eps_c))\subset B$. Wybierzmy skończone podpokrycie
$\set{B(c_1,\eps_{c_1}),\dots,B(c_n,\eps_{c_n})}$ zbioru
$\cl{K(B)}$. Określmy na $\cl{K(B)}$ funkcje $\alpha_i,\beta_i$,
gdzie $i=1,\dots,n$, wzorami:
\begin{equation*}
\alpha_i(c):=\max\set{0,\eps_{c_i}-\norm{c-c_i}},
\qquad
\beta_i(c):=\frac{\alpha_i(c)}{\sum_{i=1}^n \alpha_i(c)}
\end{equation*}
(ponieważ zbiory $B(c_i,\eps_{c_i})$ pokrywają $\cl{K(B)}$, funkcje
$\beta_i$ są dobrze zdefiniowane).
Niech $F\map{\ball}{X}$ będzie określone wzorem
\begin{equation*}
F(b):=\sum_{i=1}^n \beta_i(K(b))D_{c_i}(K(b)).
\end{equation*}
Oznaczmy $D:=\sum_{i=1}^n\beta_i(\cdot)D_{c_i}(\cdot)$. Mamy
$F=D\circ K$ oraz $F(\ball) = D(K(\ball)) \subset D(\cl{K(B)})$,
przy czym ten ostatni zbiór jest zwarty (jako ciągły obraz zbioru
zwartego); stąd $F$ jest odwzorowaniem zwartym. Dalej,
$\beta_i(K(b))\ne0$ implikuje, że $K(b)\in B(c_i,\eps_{c_i})$, więc
$D_{c_i}(K(b))\in\ball$; stąd każde $F(b)$ jest kombinacją wypukłą
punktów z~$\ball$, czyli $F(\ball)\subset\ball$. Z~twierdzenia
Schaudera otrzymujemy istnienie punktu stałego $b_0\in\ball$
odwzorowania~$F$.
Rozważmy teraz operator liniowy $W\selfmap$ dany wzorem
\begin{equation*}
W:=\sum_{i=1}^n \beta_i(K(b_0))D_{c_i}\circ K.
\end{equation*}
Oczywiście, $W$ jest operatorem liniowym zwartym komutującym z~$T$.
Zbiór $L:=\dset{y\in X}{W(y)=y}$ jest domkniętą podprzestrzenią
liniową; $L\ne\set{0}$, gdyż $b_0\in L$ (i~$b_0\ne0$); nie może też
być $L=X$, bo $W$ jest operatorem liniowym zwartym, a~$X$\ppauza
przestrzenią nieskończeniewymiarową. Wreszcie, $L$ jest
$T$-niezmiennicza: gdy $y\in L$, mamy $W(Ty)=T(Wy)=Ty$, więc $Ty\in
L$. Dowód (i~referat) jest zakończony.
\end{proof}
\end{document}
KategoriaTeX, KategoriaLaTeX