Poniżej znajduje się źródło LaTeXowe prezentacji na otwarcie mojego przewodu doktorskiego, przygotowanej przy użyciu klasy beamer (tu znajduje się plik [[download:p?]]). Nie stosuję tu wprawdzie bardziej zaawansowanych możliwości oferowanych przez tę klasę, ale nawet stosując wartości domyślne można, jak widać, uzyskać znakomite efekty. Uwaga: jeśli Twój system operacyjny używa kodowania innego niż UTF-8, musisz zmienić deklarację \usepackage[...]{inputenc} (zob. niżej).
Uwaga: warto przed korzystaniem z klasy beamer upewnić się, że dysponujemy najnowszą jej wersją; np. wersja 3.06 (dostępna np. w The TeX Collection 2007) miała denerwującą usterkę (w szczególności psującą poniższą prezentację) w obsłudze kolorów.
%%%%%%%%%%%% Prezentacja na otwarcie przewodu (w beamerze) \documentclass[11pt]{beamer} % Klasa dokumentu beamer, autorstwa Tilla % Tantaua, jest znakomitym narzędziem do % przygotowywania prezentacji w LaTeXu. % Jej dokumentacja znajduje się w pliku % beameruserguide.pdf, i warto tam % zajrzeć - są tam liczne przykłady % i porady dotyczące przygotowywania % prezentacji. Mimo obszerności, % dokumentacja jest bardzo przyjazna, % dobrze uporządkowana i przemyślana. % % Używając klasy beamer trzeba uważać na % pewną sprawę: podobnie jak pakiet pgf, % jest ona wciąż aktywnie rozwijana; % dobrze jest mieć w miarę aktualną % wersję (w niektórych dystrybucjach % TeXa, np. w MikTeXu, zainstalowanie % najnowszej wersji jest bardzo proste i % automatyczne; w innych, np. w tetex, % sprowadza się to do skopiowania plików % do odpowiedniego katalogu i % uruchomienia skryptu mktexlsr). \usetheme{Frankfurt} % Styl prezentacji. Określa wygląd prezentacji % -- użyte czcionki, układ strony itp. \usecolortheme{crane} % Styl kolorystyczny -- zmienia kolorystykę % prezentacji. \usepackage[utf8]{inputenc} % Pakiet inputenc jest jednym ze sposobów % nauczenia LaTeXa polskich liter. Inne % sposoby to: % * tzw. notacja prefiksowa (dziś % już nieużywana); % * stosowanie tablic konwersji, % zadawanych linią postaci % ,,%& --translate-file=xxx'', gdzie xxx % może mieć postać np. il2-pl (dla % iso-8859-2) czy cp1250pl (dla % kodowania Windows); opcja ta może % wymagać uaktywnienia w konfiguracji % TeXa; % * stosowanie specjalnych wersji TeXa, % jak encTeX Petra Ol\v{s}aka czy % Omega. % % Stosowanie inputenc nie jest koniecznie % najlepszym pomysłem - w szczególności % nie można wówczas używać polskich liter % w nazwach definiowanych komend, % środowisk, haseł bibliograficznych, % etykiet definiowanych poleceniem \label % itp. Jeśli używa się kodowania iso lub % Windows, tablice konwersji są % najpraktyczniejsze, choć mniej przenośne % niż inputenc. Ten ostatni jest % najprostszy do użycia, jeśli stosujemy % kodowanie utf-8 (jak w tym dokumencie). % Pakiet inputenc pozwala też na użycie % kodowania iso (opcja latin2) lub Windows % (opcja cp1250). % % Uwaga! Jeśli Twój system operacyjny % stosuje inne kodowanie niż utf-8, % prawdopodobnie musisz zmienić tę % deklarację na % \usepackage[latin2]{inputenc} % (np. w Linuksie) bądź % \usepackage[cp1250]{inputenc} % (np. w MS Windows). \usepackage{polski} % Pakiet polski jest odpowiedzialny za spolszczenie % dokumentu. Pakiet polski (jak sama nazwa % wskazuje) powoduje, że LaTeX będzie mówił po % polsku (np. rozdziały będą rozdziałami, a nie % chapterami). Dodatkowo definiuje on parę % komend, jak np. \ppauza oraz zmienia definicje % kilku komend stosowanych w trybie matematycznym, % żeby uzyskać (częściową) zgodność z polskimi % zwyczajami w tym względzie. Dokumentacja % pakietu polski, będącego częścią większej % całości o nazwie ,,platex'', znajduje się w % pliku polski.dtx (należy go przetworzyć LaTeXem % trzykrotnie, ewentualnie ignorując komunikaty o % błędach przez wciśnięcie enter, a potem obejrzeć % powstały plik dvi lub pdf). \newcommand{\ball}{\overline{B}} % Kula domknięta. Alternatywą byłoby % \bar{B}, które daje jednak zbyt % krótką (jak na mój gust) kreskę. \newcommand{\Rset}{\mathbb{R}} % Zbiór liczb rzeczywistych. % Teraz deklarujemy środowiska typu theorem. Pakiet beamer % automatycznie ładuje AMSLaTeXa, więc możemy korzystać z jego % możliwości. "Style" twierdzeń (por. amsthdoc.pdf) nie będą w pełni % wykorzystane, ponieważ klasa beamer przedefiniowuje czcionki ich % nagłówków; nadal jednak teksty twierdzeń będą złożone kursywą, a % definicji, przykładów i uwag pismem prostym. \theoremstyle{plain} \newtheorem{twierdzenie}{Twierdzenie} % Środowisko "twierdzenie" \theoremstyle{definition} \newtheorem{definicja}{Definicja} \newtheorem{przyklad}{Przykład} \theoremstyle{remark} \newtheorem{uwaga}{Uwaga} \begin{document} % Poniżej ustawiamy tytularia. Pełen opis rzeczy, które można % umieszczać w tytulariach, znajduje się oczywiście w dokumentacji % klasy beamer. \title{Twierdzenia o~punktach stałych dla operatorów w~przestrzeniach metrycznych hiperwypukłych} \author{Marcin Borkowski} \date{5. stycznia 2007} \institute{Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w~Poznaniu} % Strona tytułowa. Środowisko frame definiuje "kadr", który w tym % przypadku składa się jedynie z tytulariów. ("Kadr" jest nieudolnym % tłumaczeniem angielskiego "frame"; jeśli umiesz to lepiej % przetłumaczyć, daj znać!) \begin{frame} \titlepage \end{frame} % Prezentacja składa się z paragrafów (sections). W użytym stylu % ,,Frankfurt'' lista paragrafów znajduje się na górze każdej strony; % kliknięcie na któryś z nich powoduje przejście na odpowiednią % stronę. \section{Preliminaria} \begin{frame} \frametitle{Definicja} % Każdy kadr może mieć tytuł. Nadawanie % tytułów kadrom jest dobrym zwyczajem. \begin{definicja}[Aronszajn--Panitchpakdi, 1956] Przestrzeń metryczną nazywamy \alert{hiperwypukłą}, gdy % komenda \alert{...} % wyświetla swój argument zaznaczając % go np. innym kolorem (w zależności % od stylu prezentacji) każda rodzina kul domkniętych $\{\ball(x_i,r_i)\}_{i\in I}$ spełniająca warunek \begin{equation*} d(x_i,x_j)\leqslant r_i+r_j\quad\text{dla~$i,j\in I$} \end{equation*} ma niepusty przekrój. \end{definicja} \begin{uwaga} Dla przestrzeni unormowanych, hiperwypukłość oznacza, że każda rodzina kul domkniętych przecinających się parami ma niepusty przekrój. \end{uwaga} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Przykłady} \begin{przyklad} Następujące przestrzenie metryczne są hiperwypukłe: \begin{itemize} \item $\Rset$; \item $\Rset^n$ z~normą ,,maksimum''; \item $l^\infty$ oraz $L^\infty(\Rset)$; \item $C_\Rset(K)$, gdzie $K$ jest zwartą i~ekstremalnie niespójną przestrzenią topologiczną Hausdorffa; \item $\Rset^2$ z~metryką ,,rzeka'' lub z~metryką ,,metra paryskiego''. \end{itemize} \end{przyklad} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Przykłady} \begin{twierdzenie} Jeśli $C$ jest podzbiorem Czebyszewa rzeczywistej przestrzeni unormowanej~$X$, zaś $d_C$~jest hiperwypukłą metryką na~$C$, to funkcja~$d$ określona wzorami: \begin{equation*} d(x,y)= \begin{cases} \|x-y\|,\\ \qquad\text{gdy $P_C(x)=P_C(y)$}\\ \qquad\text{oraz punkty $x,P_C(x),y$ są współliniowe;}\\[6pt] % makro \\[...] % kończy linię i wstawia odstęp % podanej długości. Nie jest to może % zbyt eleganckie, ale w przypadku % prezentacji ręczne cyzelowanie % (hand-tweaking) kodu jest raczej % niezbędne... \|x-P_C(x)\|+d_C\bigl(P_C(x),P_C(y)\bigr)+\|P_C(y)-y\|\\ \qquad\text{w~przeciwnym przypadku,} \end{cases} \end{equation*} jest hiperwypukłą metryką na~$X$. \end{twierdzenie} \end{frame} \section{Motywacje} \begin{frame} \frametitle{Motywacje} Dlaczego przestrzenie metryczne hiperwypukłe są interesujące?\\[12pt] % Środowisko overprint pozwala na umieszczenie w jednym "kadrze" % kilku "klatek" ("slides"). Działa to mniej więcej tak, że LaTeX % tworzy prostokąt tak duży, żeby zmieściła się w nim największa % "klatka", po czym na kolejnych stronach prezentacji umieszcza % kolejne "klatki". \begin{overprint} \onslide<2> % To, co znajduje się poniżej, będzie na klatce nr 2 % (czyli pierwsza jest "pusta", a na następnych są % omówione kolejno związki pojęcia hiperwypukłości z % różnymi dziedzinami matematyki). \textbf{Z~punktu widzenia \alert{analizy matematycznej}:}\\[3pt] przestrzenie hiperwypukłe są metrycznym odpowiednikiem\\ % Podział % akapitu na wiersze dobrze jest robić % ręcznie, umieszczając znaki końca % wiersza (\\) w odpowiednich % miejscach. W prezentacji wiersze są % krótkie i dobrze wykorzystać % przejścia do nowego wiersza jako % swego rodzaju "pauzy". \alert{przestrzeni Hahna--Banacha}. Innymi słowy, dowolne odwzorowanie Lipschitza z~podzbioru przestrzeni metrycznej~$X$ do przestrzeni\\hiperwypukłej~$H$ można rozszerzyć na całą przestrzeń~$X$\\z~zachowaniem stałej Lipschitza. \onslide<3> \textbf{Z~punktu widzenia \alert{topologii}:}\\[3pt] przestrzenie hiperwypukłe są \alert{nierozszerzającymi retraktami\\absolutnymi}. Innymi słowy, jeśli $H$ jest hiperwypukłą\\podprzestrzenią przestrzeni metrycznej~$X$, to istnieje\\nierozszerzająca retrakcja $R\colon X\to H$. \onslide<4> \textbf{Z~punktu widzenia \alert{teorii punktu stałego}:}\\[3pt] wiele \alert{klasycznych twierdzeń} o~punktach stałych\\ (twierdzenia typu Browdera--Goehde'a--Kirka, Schaudera, Darbo, Krasnosielskiego,\dots) ma swoje \alert{hiperwypukłe odpowiedniki}\ppauza\\zarówno jedno-, jak i~wielowartościowe. \onslide<5> \textbf{Z~punktu widzenia teorii punktu stałego:}\\[3pt] wiele klasycznych twierdzeń o~punktach stałych\\ (twierdzenia typu Browdera--Goehde'a--Kirka, Schaudera, Darbo, Krasnosielskiego,\dots) ma swoje hiperwypukłe odpowiedniki\ppauza\\zarówno jedno-, jak i~wielowartościowe. \begin{twierdzenie}[Baillon, 1988] Niech $F\colon H\to H$ będzie nierozszerzającym odwzorowaniem ograniczonej przestrzeni hiperwypukłej w~siebie. Wówczas\\$F$ ma punkt stały; ponadto, zbiór punktów stałych odwzorowania~$F$ jest hiperwypukły. \end{twierdzenie} \end{overprint} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Hiperwypukłość a~wypukłość} Czym różni się \alert<1>{hiperwypukłość} od \alert<1>{wypukłości}? % \alert<1>{...} % wyróżnia swój argument jedynie na % pierwszej "klatce". \pause \begin{itemize} \item zbiory wypukłe nie muszą być hiperwypukłe \item i~na odwrót. \end{itemize} Mimo to, wiele \alert<2>{własności} zbiorów wypukłych \alert<2>{przenosi się na przestrzenie hiperwypukłe}, choć dowody wymagają często\\\alert<2>{innych, subtelniejszych technik}. \pause \begin{itemize} \item \alert<3>{Przekrój} rodziny zbiorów hiperwypukłych\\ \alert<3>{nie musi być hiperwypukły}; \item przekrój \alert<3>{łańcucha} przestrzeni hiperwypukłych ograniczonych jest za to \alert<3>{niepusty i~hiperwypukły}; \item zatem ,,\alert<3>{powłoka hiperwypukła}'' istnieje, choć jest jednoznaczna tylko z~dokładnością do izometrii. \end{itemize} \end{frame} \section{Wyniki} \begin{frame} \frametitle{Dotychczas uzyskane wyniki} \begin{twierdzenie}[typu Krasnosielskiego] Załóżmy, że $H$ jest niepustym, hiperwypukłym i~słabo zwartym podzbiorem przestrzeni unormowanej~$X$, zaś $F_1$ i~$F_2$ są takimi odwzorowaniami z~$H$ do rodziny niepustych i~zwartych podzbiorów~$X$, że: \begin{enumerate}[(i)] \item $F_1$ jest silnie ciągłe; \item $F_2$ jest nierozszerzające (w~sensie metryki Hausdorffa); \item $F=F_1+F_2$ jest hemizwarte; \item $F(x)$ jest wypukłym podzbiorem~$H$ dla dowolnego~$x\in H$. \end{enumerate} Wówczas istnieje takie $x\in H$, że $x\in F(x)$. \end{twierdzenie} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Dotychczas uzyskane wyniki} % Tytuły kolejnych "klatek" % mogą oczywiście być takie same. \begin{twierdzenie} Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną hiperwypukłą, zaś $\Omega$ jej niepustym i~otwartym podzbiorem. Załóżmy, że istnieje taka ciągła homotopia $H\colon [0,1]\times\overline\Omega\to X$, że: \begin{enumerate}[(i)] \item odwzorowanie $H(0,\cdot)$ ma subaddytywny moduł ciągłości oraz jego zbiór wartości jest podzbiorem pewnego hiperwypukłego i~zwartego podzbioru~$V$ przestrzeni $\overline\Omega$; \item żadne z~odzworowań $H(\lambda,\cdot)$, gdzie $\lambda\in[0,1)$ nie ma punktów stałych na brzegu zbioru~$\Omega$; \item każdy taki podzbiór $C\subset\Omega$, że $C=\Omega\cap P$ dla pewnej powłoki hiperwypukłej~$P$ zbioru $H([0,1]\times C)\cup V$ jest relatywnie zwarty. \end{enumerate} Wówczas istnieje takie $x\in\overline\Omega$, że $x=H(1,x)$. \end{twierdzenie} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Dotychczas uzyskane wyniki} \begin{twierdzenie}[typu Leray--Schaudera] Niech $X$ będzie przestrzenią liniowo-metryczną, $H\subset X$ hiperwypukłym podzbiorem~$X$, a~$\Omega\subset H$ podzbiorem otwartym w~$H$. Niech $R\colon X\to H$ będzie ciągłą retrakcją na~$H$, przy czym $R(0)\in\overline\Omega$. Wówczas każde odwzorowanie ciągłe i~zwarte $F\colon\overline\Omega\to X$ ma co najmniej jedną z~poniższych własności: \begin{enumerate}[(i)] % argument opcjonalny pozwala zmienić sposób % numerowania elementów wyliczenia. Pakiet % beamer ładuje w tym celu pakiet enumerate. % Nie jest to rewelacja - lepiej robi to % pakiet enumitem - ale wystarczy. \item $F$ ma punkt stały; \item istnieją takie $x\in\partial\Omega$ i~$\lambda\in[0,1)$, że $x=R(\lambda F(x))$. \end{enumerate} \end{twierdzenie} \end{frame} \begin{frame} \frametitle{Dotychczas uzyskane wyniki} \begin{twierdzenie}[typu Darbo] Niech $H$ będzie ograniczoną przestrzenią hiperwypukłą, a~$F\colon H\to 2^H\setminus\{\emptyset\}$ multifunkcją półciągłą z~góry o~wartościach będących przekrojami rodzin kul domkniętych. Załóżmy ponadto, że istnieją: stała $q\in(0,1)$ oraz skończony zbiór $C\subset H$ takie, że $\alpha(F(A))\leqslant q\alpha(A)$ dla dowolnego $A\subset H$, gdzie $\alpha$ jest miarą niezwartości Kuratowskiego, oraz $F(x)\cap C\ne\emptyset$ dla dowolnego $x\in H$. Wówczas istnieje takie $x\in H$, że $x\in F(x)$. \end{twierdzenie} \end{frame} \begin{frame} \begin{center} \Huge Dziękuję. \end{center} \end{frame} \end{document} % Koniec i bomba...